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《確定性的終結》 第 12 頁


對於混沌來講,這又將使其相空間達到特別複雜的程度。按照KAM理論,我們觀察到兩類軌道: 「 正經的 」 確定性的軌道,以及與共振相關聯的在相空間無規律地漫遊的 「 散漫的 」 軌道
作者:伊利亞·普利高津譯者:湛敏 / 頁數:(12 / 43)

對於混沌來講,這又將使其相空間達到特別複雜的程度。按照KAM理論,我們觀察到兩類軌道: 「 正經的 」 確定性的軌道,以及與共振相關聯的在相空間無規律地漫遊的 「 散漫的 」 軌道。 

這一理論另一個重要結果是,當我們增加能量值時,隨機性佔據的區域會隨之擴大。對於某個臨界能量值,會出現混沌:隨着時間的推移,我們看到相鄰軌道呈指數發散。而且,對於充分發展的混沌來說,由軌道產生的點雲會導致擴散,但擴散與我們將來達到均勻性的方法相關聯。它是一個產生熵的不可逆過程見第 1節時尚書屋
雖然我們從經典動力學出發,我們現在卻觀察到時間對稱性的破缺。這如何可能,正是我們為了克服時間佯謬而必須解決的主要問題。 
龐加萊共振在物理學中扮演着基本角色。光的發射或吸收是共振所致,因為它是使相互作用的粒子系統達到平衡的途徑。相互作用的場也導致共振。事實上,很難在經典物理學或量子物理學中找到一個共振在其中沒有扮演顯著角色的重要問題。時尚書屋
但是,我們如何克服與共振相關聯的發散呢?對此已取得了一些重要進展。如在第 III節中,我們必須區分個體層次軌道和統計層次由概率分佈 ρ 描述的系綜。在個體層次上我們有發散,但這些發散在統計層次上可以得到解決參見第5、第6章,共振在統計層次上產生與共鳴導致的伴聲大致類似的事件耦合。其重要特點是,出現了與軌道描述不相容的、新的非牛頓項。時尚書屋
這並不奇怪。共振不是局域事件,因為它們並非在給定地點或給定時刻發生。共振蘊涵著非局域描述,所以不能包含在與牛頓動力學相關聯的軌道描述之中。我們將要看到,共振導致了擴散運動。時尚書屋
當我們從相空間的一個點 P 0出發,我們不再能肯定地預言經過一段時間。之後其新位置Pt。簡言之,初始點 
P 0以明確的概率產生許多可能的點P 1,P 2,P 3。 

在圖 1.7里,區域D中的每個點有一個在時刻。出現的非零概率或明確的轉移概率。這種情況類似於 「 無規行走 」 或 「 布朗運動 」 的情形。在最簡單的情況裡,這一條件可以用粒子在一維點陣中的運動來說明,點陣以規則的時間間隔作一步轉移參見圖 1.8時尚書屋

在每一步,質點往左去和往右去的概率均為 1/2。在每一步,未來都是不確定的。從一開始,就不可能談到軌道。從數學上來講,布朗運動由擴散型方程稱為福克爾-普朗克Fokker-Planck方程描述。時尚書屋
擴散是有時間方向的。如果我們從位於同一源的點雲出發,隨着時間的推移,這個點雲將分散,一些粒子出現在遠離源頭的地方,另一些則出現在離源頭較近的地方。令人矚目的是,從經典動力學出發,共振精確地導出了擴散項,也就是說,共振甚至在經典力學框架中引入了不確定性,並打破了時間對稱性。 
對於可積系統而言,當這些擴散因素不存在時,我們就會回到軌道描述,但是總體上,動力學定律必須在概率分佈層次上進行表述。因而,基本問題是:在什麼情況下,我們可以預期成為可觀察量的擴散項?當做到這一點時,概率變成自然的基本屬性。這是有關確定牛頓動力學有效範圍的問題或有關我們下一節將要考慮的量子理論的有效範圍問題,它不啻是一次觀念上的革命。幾個世紀以來,軌道被看作是經典物理學基本的、原始的客體。時尚書屋
相反,我們現在則把軌道看作是共振系統的有效範圍,在第5章我們將回到這個問題上來,在第6章針對量子力學討論一個平行的問題。然而,此時我們先給出一些暫時的回答。對於瞬時相互作用一束粒子與障礙物碰撞並逸出,擴散項可以被忽略;但對於持續相互作用一束穩定的粒子流落在障礙物上,擴散項就起支配作用了。在計算機模擬時,如同在真實世界中一樣,我們可以再現這兩種情況,因而可以檢驗我們的預言。時尚書屋
結果毫不含糊地表明,對持續相互作用出現擴散項,於是導致牛頓力學描述以及正統的量子力學描述的失敗。在這兩種情況下,與在確定性混沌中一樣,我們都得到「不可約的」概率描述。 
但還有另一個更值得注意的情況。宏觀系統通常用熱力學極限來定義,按照熱力學極限,無論粒子數 N還是體積V都變大。我們將在第5章和第6章研究這一極限。在與這一極限相聯繫的現象的觀測中,物質的新屬性變得顯而易見。時尚書屋

如果我們僅僅考慮少量粒子,就不能說它們是否形成液體或氣體。物質的狀態和相變最終由熱力學極限所定義。相變的存在表明,當我們採取還原論者態度時必須謹慎行事。相變對應于突現屬性。時尚書屋
它們在單個粒子的層次上毫無意義,只有在群體層次才有意義。這種爭論在某種程度上與基于龐加萊共振的爭論類似。持續相互作用意味着我們不能將系統的一部分取出來孤立地加以考慮。正是在這種全局層次,在群體層次上,過去和未來之間的對稱性被打破了,科學可以承認時間流。時尚書屋
這解決了一個長期存在的難題。實際上,在宏觀物理學中,不可逆性和概率是最明顯不過的。 
熱力學適用於不可積系統。這意味着,我們不能用軌道來解決動力學難題,但我們能用概率解決它。因此,如同確定性混沌情形那樣,經典力學的新統計表述導致數學框架的拓展。這在某種程度上不由得讓我們回想起廣義相對論。時尚書屋


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